LA TROMBA DI TORRICELLI O DELL’ARCANGELO GABRIELE

Se facciamo ruotare intorno all’asse x il ramo 𝛾 dell’iperbole di equazione 𝑥𝑦 = 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≥ 1, il solido ottenuto ha una forma caratteristica che ricorda le trombe angeliche del Giudizio Universale ( da qui il riferimento a Gabriele, l’angelo che soffierà nel corno per annunciare l’apocalisse).
Questo solido ha la particolarità di avere volume finito, ma area del mantello infinita; le proprietà di questo solido furono studiate per la prima volta dal fisico e matematico italiano Evangelista Torricelli nel XVII secolo.

Si dimostra che la vernice sufficiente a riempire il solido è una quantità finita mentre la vernice per dipingere il mantello esterno non è mai abbastanza…. in pratica è infinita , cosa che appare del tutto incredibile e paradossale.

Il volume totale non è altro che la somma di sottilissimi volumetti cilindrici che abbiano altezze pari a un valore dx estremamente piccolo. Ogni cilindretto ha quindi un volume pari a πr2 dx. Il valore del raggio r “medio ” del cilindretto che altri non è che la y corrispondente. Il volume totale del nostro solido di rotazione sarà quindi dato dalla sommatoria (integrale), tra il valore iniziale di x e quello finale, della quantità π/x2 dx. Nel caso della tromba di Gabriele il valore iniziale  di x è uguale a 1 e quello finale è ∞, perciò:
V = ∫1∞ π/x2 dx
Questo integrale è facilissimo da calcolare (1/x2 è la derivata di – 1/x) e porta al risultato:
V = π [- 1/x]1∞ = π[-1/∞ – (- 1/1)] = π[0 + (1/1)] = π

Per la superficie esterna l’espressione da integrare deve tenere conto che la superficie esterna di un tronco di cono, pur piccolo a piacere, deve essere una striscetta. In altre parole il tronchetto di cono infinitesimo dipende sia dal raggio iniziale che da quello finale. La formula ben nota che la determina è data dalla somma dei raggi iniziale e finale moltiplicata per l’apotema a. Quanto vale il segmento a? Basta considerare il teorema di Pitagora, ne segue che
S = ∫1∞2π/x √(1 + 1/x4)) dx
Beh… questo non è un integrale molto facile, ma possiamo ricordarci una semplice regola: se una certa espressione è uguale a infinito, qualsiasi espressione che sia maggiore di essa deve valere infinito.
2π∫1∞dx/x = 2π [ln x]1∞= 2π [∞ – 0] = ∞
Il paradosso viene quindi dimostrato